Metoda Variasi

Disamping teori gangguan yang telah dipelajari pada bagian sebelumnya, pendekatan yang lain yang disebut sebagai metoda variasi telah lama digunakan untuk menerapkan mekanika kuantum ke dalam berbagai masalah. Khususnya dalam tahun-tahun terakhir, perkembangan komputer modern telah memfasilitasi penggunaan yang berharga dari metoda perhitungan yang didasarkan pada metoda variasi. Dalam bagian ini kita akan mempelajari metoda variasi. Sekarang, kita memulainya dengan prinsip variasi.

3.2.1 Prinsip variasi

Sebuah nilai ekspektasi percobaan dengan sebuah fungsi sembarang ? diperkenalkan oleh persamaan berikut.

(3.21)

Nilai ?[?] yang bergantung pada pilihan dari ? tidak lah lebih kecil dari nilai eingen terendah E₀ untuk persamaan eigen ??? = E? .

(3.22)

Kesamaan dari rumus ini hanya berlaku untuk sebuah kasus khusus di mana ?[?] adalah sebuah fungsi eigen yang berkaitan dengan E₀. Rumus ini yaitu persamaan (3.22) disebut sebagai prinsip variasi.
[Bukti]
? dapat diekspansikan dalam suku-suku dari fungsi eigen {?_i} untuk ?? sebagai ? = sigmaton c_i?_i. Perhitungan ?[?]-E₀ dengan cara melakukan mengekspansi ?, menggunakan ???_i = E_i?_i dan juga memperhatikan sifat normalitas dari {?_i}, kita akan mendapatkan

Ketidaksamaan yang terakhir diturunkan dari hal-hal berikut; E_o adalah nilai eigen terendah dan sebuah nilai absolut yang tidak dapat menjadi negatif. Karena {?_i} tidak dapat menjadi nol untuk seluruh kasus yang mungkin dari variabel-varibelnya, kesamaannya memerlukan c_i = 0 untuk seluruh {?_i} dengan energi yang dimiliki E_i lebih besar dari E₀. Ini akan menghasilkan kesimpulan bahwa sebuah nilai yang tidak nol untuk koefisien c_i dalam ekspansi ? dalam suku-suku {?} hanya diijinkan jika E_i = E₀. Hanya dalam kasus ini ??? = E₀? dapat dipenuhi, dan ? menjadi fungsi eigen yang berkaitan dengan nilai eigen E₀. Dengan kondisi yang sama, jika ? adalah sebuah fungsi eigen dari E₀ memenuhi ??? = E₀?, penyebut dari persamaan (3.21) menjadi ??*E₀?dq = E??*?dq, dan akan memberikan ?[?] = E₀. Karenanya kesamaan akan berlaku hanya jika ??? = E₀?, dalam kasus di mana ? adalah fungsi eigen degan nilai eigen terendah E₀.
Prinsip variasi memberikan sebuah petunjuk untuk mendapatkan fungsi gelombang dan nilai eigen untuk keadaan dasar. Untuk maksud ini, ? harus ditentukan sedemikian rupa hingga nilai ?[?] dengan menggunakan ? dapat menjadi minimum . Resultan ? adalah fungsi eigen dari nilai eigen terendah E₀, yang juga fungsi gelombang dari keadaan dasar. Ini akan memberikan kesimpulan bahwa ? ini akan menghasilkan ?[?] yang berkaitan dengan keadaan dasar dengan nilai energi E₀.

3.2.2 Metoda variasi dengan menggunakan sebuah pendekatan kombinasi linier (Metoda variasi Ritz)

Sangat sulit untuk menemukan ? dengan meminimalisasi ?[?] dengan dasar prinsip variasi di atas. Untuk berbagai fungsi-fungsi ?₁₂, ?₃,…, kita perlu untuk menghitung nilai masing-masing dari ?[?_i], dan kita harus menemukan sebuah fungsi yang memberikan nilai minimum. Akan tetapi tidaklah mungkin untuk melakukan tes pada seluruh fungsi. Bahkan jika beberapa kombinasi dari E dan ? memenuhi ??? = E?, nilai eigen terendah di antara semuanya tidak perlu merupakan nilai eigen minimum yang sebenarnya. Karenanya sebuah kompromi dengan beberapa kali percobaan akan memberikan beberapa kali pengulangan dan dapat memberikan hasil yang tidak sukses kecuali jika pilihan yang beruntung dapat dilakukan.
Sekarang kita mencoba untuk melakukan tes pada fungsi-fungsi yang lebih luas secara lebih efisien. Sebuah kombinasi linier dari n buah fungsi-fungsi ?₁, ?₂, ?₃,…, ?_n

(3.23)

dapat digunakan untuk melakukan tes dalam jumlah yang terbatas dari fungsi coba yang diekspresikan oleh persamaan (3.23), dengan menyatakan bahwa koefisien ekspansi {c_i} sebagai variabel yang dapat dirubah dan secara terus-menerus dilakukan variasi. Meskipun terdapat batasan yang dikarenakan oleh pilihan dari {?_i}, kita dapat memperoleh hasil yang terbaik untuk tes seluruh kombinasi linier yang sembarang dari {?_i} sebagaimana juga tes dengan masing-masing fungsi dari ?₁ hingga ?_n. Dalam cara ini, prinsip variasi digunakan untuk menentukan deret dari {c_i} sedemikian rupa sehingga {c_i} dapat menuju pada ?[?] yang minimum. Prosedur ini disebut sebagai metoda variasi dengan menggunakan pendekatan kombinasi linier (metoda variasi Ritz)
Dengan memasukkan persamaan (3.23) ke dalam definisi dari ?[?] akan menghasilkan persamaan berikut.

(3.24)

Dalam ekspresi ini penjumlahan untuk i dan j harus diambil dari 1 hingga n. H_ij dan S_ij adalah elemen dari matriks n x n dan didefinisikan dengan integral berikut.

(3.25)

(3.26)

S_ij disebut sebagai integral tumpang tindih (overlap) antara ?_i dan ?_j.
Berdasarkan prinsip variasi , ?[?] harus dapat diminimalisasi dengan merubah {c_i}, yang merupakan koefisien yang diperkenalkan dalam definisi tentang ?. Karena ci dan c*_i adalah kompleks konjugat satu dengan yang lainnya, kita mungkin mengambil satu dari mereka sebagai sebuah variabel independen. Karenanya, kita akan mendapatkan kondisi untuk ??/?c*_i = 0. Untuk kemudahan, kita dapat menulis ulang persamaan (3.24) sebagai

(3.27)

Diferensiasi pada kedua sisi dari persamaan ini terhadap c*_i akan memberikan

(3.28)

Dengan menggunakan kondisi ??/?c*_i = 0, kita mendapatkan

(3.29)

Ekspresi ini adalah sebuah himpunan dari persamaan simultan untuk {c_j} yang juga sama dengan persamaan (3.16) yang terdapat dalam bagian sebelumnya.
Jika seluruh koefisien dari c₁ hingga c_n adalah nol, maka mereka akan memenuhi persamaan (3.29). Akan tetapi, himpunan dari solusi-solusi ini akan menghasilkan sebuah identitas yaitu ? = 0, yang secara fisik tidak memiliki arti. Dalam usaha untuk memperoleh solusi yang tidak trivial, yang lain dari solusi dengan seluruh {c_j} sama dengan nol, deteminan berikut haruslah sama dengan nol.

(3.30)

Elemen ij dari A_ij dalam determinan ini diturunkan dari koefisien (H_ij ? ?S_ij) = A_ij dalam persamaan simultan (3.29). Persamaan (3.30) adalah sebuah persamaan aljabar dengan orde n untuk ?, dan disebut sebagai persamaan sekular. Persamaan sekular diekspresikan secara sederhana sebagai [H_ij ? ?S_ij] = 0, yang mana hanya elemen ij yang ditulis antara sebuah pasangan dari tiang vertikal. ?₁, ?₂,…,?_n(?_i ? ?_{i +1}) adalah n buah solusi dari persamaan ini dan memberikan perkiraan atas nilai eigen energi. Nilai eigen terendah ?₁ adalah pendekatan terbaik dari energi keadaan dasar yang sebenarnya dalam jangkauan yang dimungkinkan oleh kombinasi linier untuk ? dalam persamaan (3.23). Sebagai perbandingan dengan nilai eigen yang sebenarnya dari energi yang terendah E₁, E₁,…, nilai eigen yang diperoleh dengan metoda variasi Ritz memenuhi hubungan berikut.

(3.31)

Karenanya ?_k (k ? 2) adalah sebuah nilai energi pendekatan untuk keadaan tereksitasi ke-k.
Fungsi gelombang {?_k} berhubungan dengan nilai eigen energi pendekatan {?_k} dan dapat diperoleh dengan memasukkan ?_k ke dalam persamaan simultan (3.29), diikuti dengan mendapatkan {c_j}. Harus dicatat di sini bahwa kondisi normalisasi akan memberikan persamaan berikut yang harus dipenuhi untuk {c_j}

(3.32)

Contoh 3.2 Hitunglah nilai energi pendekatan dan fungsi gelombang dengan menerapkan metoda variasi Ritz pada ? = c₁?₁ + c₁?₁, dengan dilengkapi bahwa H₁₁ = -12 eV, H₂₂ = -6 eV, H₁₂ = H₂₁ = -4 eV, S₁₁ = S₂₂ = 1, S₁₂ = S₂₁ = 0.
(Jawaban) Dengan mengunakan kondisi yang diberikan, persamaan sekular diekspresikan oleh

Solusi terendah memberikan energi keadaan dasar ?₁ = -14 eV, dan energi yang lebih tinggi berkaitan dengan keadaan energi tereksitasi ?₂ = -4eV.
Fungsi gelombang ? dapat diperoleh dengan cara berikut. Dengan menerapkan kondisi yang diberikan untuk kondisi normalisasi pada persamaan (3.32).

(1)

Persamaan simultan (3.29) untuk koefisien c₁, c₂ memberikan

(2)

Dengan memasukkan nilai-nilai untuk H₁₁, H₁₂ dan ?₁ ke dalam persamaan ini (2) akan memberikan

Ini akan menghasilkan c1 = 2c2, dan kemudian persamaan (1) memberikan c₁ = 2?5, c₂ = 1? 5. Dengan demikian kita mendapatkan keadaan dasar fungsi gelombang.

Berikutnya, memasukkan ?₂ ke dalam ? dalam persamaan (2) akan memberikan

Ini akan menghasilkan 2c₁ = -c₂, dan kemudian persamaan (1) memberikan c₁ = 1?5, c₂ = -2?5. Dengan demikian kita mendapatkan fungsi gelombang keadaan tereksitasi.