GO-Blog: Posted : Restu Sri Rahayu

Tampilkan postingan dengan label Posted : Restu Sri Rahayu. Tampilkan semua postingan

Rabu, 04 Desember 2013

Sejarah Sepak Bola

Berbicara tentang olahraga Sepak Bola, tentunya satu hal yang terlintas di benak kita adalah sebuah olahraga termurah yang paling digemari oleh berbagai kalangan di hampir seluruh pelosok dunia yang dimainkan oleh berbagai jenis usia baik tua maupun muda. Salah satu jenis olahraga murah meriah yang sangat ‘merakyat’ di dunia ini. Kurang pas rasanya jika kita bermain sepak bola tanpa mengetahui sejarah awal mula dan asal muasal permainan atau olahraga ini, kebanyakan orang mengira lahirnya sepak bola ini berasal dari Negara Inggris. Pada dasarnya, banyak sekali berbagai golongan dan individu yang mengutarakan asal muasal dari sepak bola.

Seorang pakar sejarah sepak bola misalnya, Bill Muray, menuliskan sebuah buku The World Game: A History of Soccer mengatakan bahwa sepak bola sudah dimainkan sejak awal Masehi, orang-orang di era Mesir Kuno telah mengenal permainan ini dengan cara membawa dan menendang bola yang terbuat dari buntalan kain linen. Kemudian, dalam sejarah Yunani Purba mencatatkan juga terdapat sebuah permainan yang disebut Episcuro (permainan dengan menggunakan bola) sebutan mereka untuk permainan sepak bola ini terbukti dari gambar relief pada dinding museum yang mengisahkan tentang seorang anak muda yang sedang memegang bola bulat dan memainkannya dengan pahanya. Terdapat juga sebuah versi sejarah kuno tentang asal muasal sepak bola lainnya yang berasal dari Negeri Sakura, Jepang, sejak abad ke 8, masyarakat Jepang menyebutnya dengan sebutan Kemari (bola yang digunakan terbuat dari kulit kijang yang ditengah-tengahnya terdapat lubang yang berisi udara).

style="text-align: justify;"> Dikarenakan banyaknya versi dan beragam pendapat dari berbagai kalangan inilah maka pada awal tahun 1900-an atau tepatnya tahun 1904, didirikanlah sebuah organisasi tertinggi sepak bola dunia atau yang kita kenal sebagai FIFA. Secara resmi pun FIFA menyatakan bahwa olahraga sepak bola pada awalnya berasal dari daratan Cina yaitu tepatnya pada abad ke-2 hingga abad ke-3 SM pada masa pemerintahan Dinasti Han, pada waktu itu dikenal dengan sebutan ‘Tsu-chu’ (Tsu yang artinya menerjang bola dengan kaki, sedangkan chu memiliki arti bola dari kulit dan berisi) seperti yang dikutip pada sebuah blog.

Sesungguhnya sepak bola memang telah ditemukan sejak 3000 tahun yang lalu di berbagai pelosok dunia namun dalam bentuk yang berbeda-beda. Jika kelahiran sepak bola modern memang pertama kalinya lahir di Inggris yang biasanya di gunakan sebagai olahraga ‘perang’ yang terjadi pada tahun 1863 pada sebuah pertemuan di Freemason’s Tavern, kemudian dibentuklah sebuah asosiasi sepak bola Inggris yang bernama Football Association (FA) yang hingga saat ini berfungsi untuk membuat aturan-aturan yang sah dalam olahraga sepak bola sehingga olahraga ini menjadi menarik dan sangat digemari berbagai kalangan dan selanjutnya pada tahun 1886 dibentuk lagi sebuah asosiasi untuk mengeluarkan peraturan sepak bola modern seluruh dunia yang disebut International Football Association Board (IFAB) seperti dikutip dalam sebuah situs shalimow.com.

Menurut sumber di wikipedia, di Indonesia sendiri sejarah olahraga ini diawali dengan lahirnya sebuah organisasi Persatuan Sepak Raga Seluruh Indonesia (PSSI) di Yogyakarta pada 19 April 1930 yang dipimpin oleh Soeratin Sosrosoegondo yang disebutkan bahwa olahraga ini di kenalkan saat masa penjajahan Belanda. Sosok Soeratin lah yang telah membuat olahraga ini berkembang pesat di Indonesia, bahkan demi menghargai jasanya diadakan kejuaraan sepak bola Piala Soeratin (Soeratin Cup) mulai tahun 1966an yang hingga saat ini menjadikan olahraga sepak bola menjadi terkenal dan sangat digemari oleh hampir seluruh lapisan masyarakat di Indonesia.

Kinematika Gerak

Dalam fisika, kinematika adalah cabang dari mekanika klasik yang membahas gerak benda dan sistem benda tanpa mempersoalkan gaya penyebab gerakan.^[1]^[2]^[3] Kata kinematika dicetuskan oleh fisikawan Perancis A.M. Ampère cinématique^[4] yang ia ambil dari Yunani Kuno κίνημα, kinema (gerak), diturunkan dari κινεῖν, kinein.^[5] ^[6] Hal terakhir ini berbeda dari dinamika atau sering disebut dengan Kinetika, yang mempersoalkan gaya yang memengaruhi gerakan.

Kinematika dari benda bergerak

Besaran kinematika untuk partikel klasik: massa m, posisi r, kecepatan v, percepatan a.

Kinematika partikel adalah studi yang mempelajari karakteristik gerak suatu partikel. Posisi suatu partikel didefinisikan sebagai vektor koordinat dari awal titik acuan ke partikel. Sebagai contoh, anggaplah ada sebuah menara setinggi 50 meter di sebelah selatan rumah anda, dimana titik acuannya adalah rumah anda, dengan timur sebagai sumbu-x dan utara sebagai sumbu-y, maka koordinat vektor menara tersebut adalah r=(0, -50, 0). Vektor koordinat di puncak menara adalah r=(0, -50, 50).
Dalam bentuk 3 dimensi, posisi titik P dapat dituliskan sebagai

$\mathbf{P} = (x_P,y_P,z_P) = x_P\vec{i} + y_P\vec{j} + z_P\vec{k},$

dengan x_P, y_P, dan z_P adalah koordinat Kartesian dan i, j dan k adalah unit vektor yang mengikuti sumbu x, y, dan z. Besar dari vektor posisi |P| adalah jarak antara titik P dengan titik acuan, dapat dituliskan sebagai:

$|\mathbf{P}| = \sqrt{x_P^{\ 2} + y_P^{\ 2} + z_P^{\ 2}}.$

Trajektori dari sebuah partikel adalah fungsi vektor terhadap waktu, P(t), yang mendefinisikan kurva yang dibentuk dari partikel yang bergerak, yang akan memberikan persamaan

$\mathbf{P}(t) = x_P(t)\vec{i} + y_P(t)\vec{j} +z_P(t) \vec{k},$

dengan koordinatx_P, y_P, dan z_P masing-masing adalah fungsi waktu.

Kecepatan dan kelajuan

Kecepatan sebuah partikel adalah vektor yang menunjukkan arah dan besar dari perubahan posisi vektor, bagaimana posisi sebuah benda berpindah tiap waktu. Anggap rasio perbedaan 2 posisi partikel dibagi dalam interval waktu sama, maka kecepatan rata-rata pada interval tersebut adalah

$\overline{\mathbf{V}} = \frac {\Delta \mathbf{P}}{\Delta t} \ ,$

dengan ΔP adalah perubahan posisi vektor per selang waktu Δt.
Ketika limit ketika interval waktu Δt menjadi semakin kecil, maka kecepatan rata-rata menjadi turunan waktu dari posisi vektor:

$\mathbf{V} = \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta\mathbf{P}}{\Delta t} = \frac {d \mathbf{P}}{d t}=\dot{\mathbf{P}} = \dot{x}_p\vec{i}+\dot{y}_P\vec{j}+\dot{z}_P\vec{k}.$

Maka, kecepatan adalah besarnya perubahan posisi per satuan waktu.
Kelajuan dari suatu objek adalah besar |V| dari suatu kecepatan. Kelajuan merupakan besaran skalar:

$|\mathbf{V}| = |\dot{\mathbf{P}} | = \frac {d s}{d t},$

dengan s adalah panjang jalur lintasan total yang ditempuh partikel. Kelajuan adalah besaran yang selalu bernilai positif.

Gerak Relatif

Dapat ditunjukkan dengan persamaan matematika vektor sederhana berikut yang memperlihatkan suatu penjumlahan vektor : gerak $A$ relatif terhadap $O$ sama dengan gerak relatif $B$ terhadap $O$ ditambah dengan gerak relatif $A$ terhadap $B$ :
$r_{A/O} = r_{B/O} + r_{A/B} \,\!$

Gerakan Koordinat

Salah satu persamaan dasar dalam kinematika adalah persamaan yang menggambarkan tentang turunan dari sebuah vektor yang berada dalam suatu sumbu koordinat bergerak. Yaitu : turunan terhadap waktu dari sebuah vektor relatif terhadap suatu koordinat diam, sama dengan turunan terhadap waktu vektor tersebut relatif terhadap koordinat bergerak ditambah dengan hasil perkalian silang dari kecepatan sudut koordinat bergerak dengan vektor itu. Dalam bentuk persamaan :
$\left.\frac{dr(t)}{dt}\right|_{X,Y,Z} = \left.\frac{dr(t)}{dt}\right|_{x,y,z} + \omega \times r(t)$ dimana :
$r(t)$ adalah sebuah vektor
$X, Y, Z$ adalah sebuah sumbu koordinat tetap / tak bergerak
$x, y, z$ adalah sebuah sumbu koordinat berputar
$\omega$ adalah kecepatan sudut perputaran koordinat

Sistem Koordinat

Sistem Koordinat Diam

Pada sistem koordinat ini, sebuah vektor digambarkan sebagai suatu penjumlahan dari vektor-vektor yang searah dengan sumbu $X$ , $Y$ , atau $Z$ . Umumnya $\vec i \, \!$ adalah sebuah vektor satuan pada arah $X$ , $\vec j \, \!$ adalah sebuah vektor satuan pada arah $Y$ , dan $\vec k \, \!$ adalah sebuah vektor satuan pada arah $Z$ .
Vektor posisi $\vec s \, \!$ (atau $\vec r \, \!$ ), vektor kecepatan $\vec v \, \!$ dan vektor percepatan $\vec a \, \!$ , dalam sistem koordinat Cartesian digambarkan sebagai berikut :
$\vec s = x \vec i + y \vec j + z \vec k \, \!$
$\vec v = \dot {s} = \dot {x} \vec {i} + \dot {y} \vec {j} + \dot {z} \vec {k} \, \!$
$\vec a = \ddot {s} = \ddot {x} \vec {i} + \ddot {y} \vec {j} + \ddot {z} \vec {k} \, \!$
catatan : $\dot {x} = \frac{dx}{dt}$ , $\ddot {x} = \frac{d^2x}{dt^2}$

Sistem Koordinat Bergerak 2 Dimensi

Sistem koordinat ini hanya menggambarkan gerak bidang yang berbasis pada 3 vektor satuan orthogonal yaitu vektor satuan $\vec i \!$ , dan vektor satuan $\vec j \!$ sebagai sebuah bidang dimana suatu obyek benda berputar terletak/berada, dan $\vec k \!$ sebagai sumbu putarnya.
Berbeda dengan sistem koordinat Cartesian di atas, dimana segala sesuatunya diukur relatif terhadap datum yang tetap dan diam tak berputar, datum dari koordinat-koordinat ini dapat berputar dan berpindah - mengikuti gerakan dari benda atau partikel pada suatu benda yang diamati. Hubungan antara koordinat diam dan koordinat berputar dan bergerak ini dapat dilihat lebih rinci pada Transformasi Orthogonal.

Kalkulus Diferensial

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

TURUNAN
Misalkan x dan y adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y = f(x). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang tergantung pada garis mana grafik tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan rumus:

$m={\mbox{perubahan } y \over \mbox{perubahan } x} = {\Delta y \over{\Delta x}},$

di mana simbol Δ (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena

y + Δy = f(x + Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.

Diikuti pula Δy = m Δx.
Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx. Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari turunan.
Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi.

Garis singgung pada (x, f(x))

Bilamana x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan dari garis singgung grafik f' di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi satu, turunan dari f adalah bilangan real. Jika x dan y adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling mendekati grafik f tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan. Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Linearisasi dari f ke semua arah secara bersamaan disebut sebagai turunan total. Turunan total ini adalah transformasi linear, dan ia menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari f. Hiperbidang ini disebut sebagai hiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgung ke semua arah secara bersamaan.

Optimalisasi

Jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka) dan x adalah maksimum lokal ataupun minimum lokal dari f, maka turunan dari f di titik x adalah nol; titik-titik di mana f '(x) = 0 disebut titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f di x disebut nilai kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai meliputi titik-titik di mana turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisa dengan menggunakan turunan ke-dua dari f di x:

jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal;
jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal;
jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum lokal, ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki titik kritis di x=0, namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f(x) = ±x⁴ mempunyai titik kritis di x = 0 dan titik itu adalah titik minimum maupun maksimum.)

Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji turunan pertama melibatkan nilai f ' di kedua sisi titik kritis.
Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat digunakan untuk optimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minima dan maksima hanya dapat terjadi pada titik kritis atau titik akhir.
Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahui minima dan maksima lokal dari fungsi yang dapat diturunkan tersebut, sebuah grafik perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia akan meningkat dan menurun di antara titik-titik kritis.
Di dimensi yang lebih tinggi, titik kritis dari nilai skalar fungsi adalah titik di mana gradien fungsi tersebut adalah nol. Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisa titik-titik kritis dengan menggunakan eigennilai matriks Hessian dari turunan parsial ke-dua fungsi di titik kritis. Jika semua eigennilai tersebut adalah positif, maka titik tersebut adalah minimum lokal; jika semuanya negatif, maka titik itu adalah maksimum lokal. Jika ada beberapa yang positif dan beberapa yang negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik pelana, dan jika tidak ada satupun dari keadaan di atas yang terpenuhi (misalnya ada beberapa eigennilai yang nol) maka uji tersebut inkonklusif.

Kalkulus variasi

Salah satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar dua titik di atas sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus berada di permukaan tersebut. Jika permukaan tersebut adalah bidang rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus. Namun jika permukaannya tidak bidang, maka kita tidak bisa mengetahui secara pasti kurva yang paling pendek. Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah satu masalah paling sederhana di kalkulus variasi adalah mencari geodesik.Contoh lainnya adalah mencari luas permukaan paling kecil yang dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi. Permukaan ini disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan menggunakan kalkulus variasi.

Fisika

Kalkulus sangatlah penting dalam fisika. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:

kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu.

Sebagai contoh, jika posisi sebuah benda dalam sebuah garis adalah:

$x(t) = -16t^2 + 16t + 32 , \,\!$

maka kecepatan benda tersebut adalah:

$\dot x(t) = x'(t) = -32t + 16, \,\!$

dan percepatan benda itu adalah:

$\ddot x(t) = x''(t) = -32, \,\!$

Persamaan diferential

Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunan-turunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:

$F(t) = m\frac{d^2x}{dt^2}.$

Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsial

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$

Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.

Teorema nilai purat

Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsi asal. Jika f(x) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah bilangan dengan a < b, maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) adalah sama dengan kemiringan garis singgung f di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Dalam prakteknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya. Sebagai contoh, misalkan f memiliki turunan yang sama dengan nol di setiap titik, maka fungsi tersebut haruslah horizontal. Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini haruslah benar, bahwa kemiringan antara dua titik di grafik f haruslah sama dengan kemiringan salah satu garis singgung di f. Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis sembarang antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki kemiringan yang bernilai nol. Namun hal ini juga mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak naik maupun turun.

Polinomial Taylor dan deret Taylor

Turunan memberikan pendekatan linear yang paling baik, namun pendekatan ini bisa sangat berbeda dengan fungsi asalnya. Salah satu cara untuk memperbaiki pendekatan ini adalah dengan menggunakan pendekatan kuadratik. Linearisasi dari fungsi bernilai real f(x) pada suatu titik x₀ adalah linearisasi polinomial a + b(x - x₀), dan sangat mungkin untuk mendapatkan pendekatan yang lebih baik dengan menggunakan polinomial kuadratik a + b(x - x₀) + c(x - x₀)². Masih lebih baik lagi apabila menggunakan polinomial kubik a + b(x - x₀) + c(x - x₀)² + d(x - x₀)³, dan gagasan ini dapat diperluas sampai polinomial berderajat tinggi. Untuk setiap polinomial ini, haruslah terdapat pilihan nilai koefisien yang paling tepat untuk a, b, c, dan d yang membuat pendekatan ini sedekat mungkin.
Untuk a, pilihan nilai yang terbaik selalu bernilai f(x₀), dan untuk b selalu bernilai f'(x₀). Untuk c, d, dan koefisien berderajat tinggi lainnya, koefisien-koefisien ini ditentukan dengan turunan berderajat tinggi dari f. c haruslah f''(x₀)/2, dan d haruslah f'''(x₀)/3!. Dengan menggunakan koefisen ini, kita mendapatkan polinomial Taylor dari f. Polinomial taylor berderajat d adalah polinomial dengan derajat d yang memberikan pendekatan yang paling baik terhadap f, dan koefisiennya dapat ditentukan dengan perampatan dari rumus di atas. Teorema Taylor memberikan batasan-batasan yang detail akan seberapa baik pendekatan tersebut. Jika f adalah polinomial dengan derajat yang lebih kecil atau sama dengan d, maka polinomial Taylor dengan derajat d sama dengan f.
Batasan dari polinomial Taylor adalah deret tidak terbatas yang disebut sebagai deret Taylor. Deret Taylor biasanya merupakan pendekatan yang cukup dekat dengan fungsi asalnya. Fungsi-fungsi yang sama dengan deret Taylor disebut sebagai fungsi analitik. Adalah tidak mungkin untuk fungsi yang tidak kontinu atau memiliki sudut yang tajam untuk menjadi fungsi analitik. Namun terdapat pula fungsi mulus yang bukan analitik.

Teorema fungsi implisi

Beberapa bentuk geometri alami, seperti lingkaran, tidak dapat digambar sebagai grafik fungsi. Jika F(x, y) = x² + y², maka lingkaran adalah himpunan pasangan (x, y) di mana F(x, y) = 0. Himpunan ini disebut sebagai himpunan nol (zero set) (bukan himpunan kosong) dari F. Ini tidaklah sama dengan grafik F, yang berupa kerucut. Teorema fungsi implisit mengubah relasi seperti F(x, y) = 0 menjadi fungsi . Teorema ini menyatakan bahwa jika F adalah secara kontinu terdiferensialkan, maka di sekitar kebanyakan titik-titik, himpunan nol dari F tampak seperti grafik fungsi yang digabungkan bersama. Titik di mana hal ini tidak benar ditentukan pada kondisi turunan F. Lingkaran dapat digabungkan bersama dengan grafik dari dua fungsi $\pm\sqrt{1-x^2}$ . Di setiap titik lingkungan dari lingkaran kecuali (-1, 0) dan (1, 0),satu dari dua fungsi ini mempunyai grafik yang mirip dengan lingkaran. (Dua fungsi ini juga bertemu di (-1, 0)dan (1, 0), namun hal ini tidak dipastikan oleh teorema fungsi implisit).
Teorema fungsi implisit berhubungan dekat dengan teorema fungsi invers yang menentukan kapan sebuah fungsi tampak mirip dengan grafik fungsi terbalikkan yang digabungkan bersama.